
Futbol kariyerine Rize Özel İdarespor’da başlayan Barış Alper, 2017-2018 sezonu öncesi 17 yaşındayken dönemin TFF 3. Lig ekiplerinden Ankara Demirspor’a transfer oldu. Burada profesyonel olan genç futbolcu, ilk sezonunda 5 lig, 2 Türkiye Kupası maçında forma giydi.
2017-2018 sezonunda play-off şampiyonu olarak TFF 2. Lig’e yükselen takımında daha fazla süre bulmaya başlayan Barış Alper, 2018-2019 sezonunda 16 lig ve 1 kupa, 2019-2020 sezonunda ise 19 lig, 1 kupa maçında sahaya çıktı. Genellikle sağ kanatta görev alan Barış Alper, söz konusu sezonlarda 1 kez gol sevinci yaşadı.
2020’de TFF 1. Lig takımı Ankara Keçiörengücü’ne transfer olan genç Barış, burada ciddi bir sıçrama yaptı. Süre aldığı 34 lig maçında 8 kez fileleri havalandıran Barış Alper Yılmaz, Türkiye Kupası’nda da 2 maçta top koşturdu.